追記3：macOS Catakina 10.15.3 Beta 2（19D62e）で再発無し
追記2：macOS Catalina 10.15.3 Beta 1（19D49f）で修正された模様です。
追記：macOS Catalina 10.15.2正式版（Combo Update）を適用後にCookie消去など一連の対処をしてみましたが状況に変化は見られませんでしたので公開当初の表題に入れていた "Beta"の文字は削除しました。
今日（2019年11月9日）の昼頃にmacOS Catalina 10.15.2 Public Beta 1をインストールしたのですが、それ以降、自分のはてなブログにアクセスすると非ログイン状態の表示が出るようになりました。
画面には上手にある通り "サードパーティーCookieが無効になっています" と表示されていますが、macOS 10.15.2を適用する前からSafariの設定は変更していないので状況が変わっているとは少々考えにくいです。
(´-`).｡oO(もちろんアップデートに際して設定が勝手に変わってしまうことは想定できますが)
経過報告：
- 2019/11/08 release macOS Catalina 10.15.2 Beta 1 (19C32e)：初確認
- 2019/11/14 release macOS Catalina 10.15.2 Beta 2 (19C39d)：未解決
- 2019/11/21 release macOS Catalina 10.15.2 Beta 3 (19C46a)：未解決
- 2019/12/08 release macOS Catalina 10.15.2 Beta 4 (19C56a)：未解決
- 2019/12/12 release macOS Catalina 10.15.2 正式版 (19C58)：未解決
- 2019/12/18 release macOS Catalina 10.15.3 Beta 1 (19D49f)：解決？*1
- 2020/01/15 release macOS Catalina 10.15.3 Beta2 (19D62e)：再発無し
Cookieの利用可否状態を確認
冒頭画像の枠で囲った部分をクリックするとヘルプに飛びます：
サードパーティーCookieを拒否していると冒頭の画像のような非ログイン利用者向けのメニューが出るそうですが……：
サイト越トラッキングを確認
でもって「サイト越えトラッキングを防ぐ」が［有効］になっていてもダメらしいのでこれを無効にするためチェックを外……す……というか、外れてる（①）
試したこと（効果なし）
Safariメニューから"履歴を消去……"を選び、全ての履歴を消してみましたが改善は見られませんでした。
Safariの再起動、Safariのプライベートモード、Macの再起動も試しましたが変化なし。
暫定対処法
これが不具合なのか仕様変更なのかは今のところ不明ですが、私が利用しているログインを求められるサイトの中でこのようにログアウト状態で表示されてしまうのは今のところ“はてなブログ”のみ。
ただ、このタイミングではてなだけ変なことをしたとも考えにくいので、とりあえずは様子を伺うことにして、その間は暫定的な対処法で過ごすことにする。
ブラウザを変える
Safari固有の不具合なので違うブラウザに変えれば大丈夫、面倒だけど。
サイト越えトラッキングを……
［無効］じゃないとダメなはずなのに、どういうわけか［有効］に設定を変更（チェックを入れる）してからページの再読み込みをするとログイン状態に表示が変わります。
一度この状態になれば、Safariを終了（command＋Q）しない限りはトラッキングの設定を［無効］に戻してもログイン状態は保持されるようです。
この設定はネットの用途などによって有効にすべきか無効にすべきか各自で異なると思うのでそれぞれの判断を交えながら対処してください。
どっちも面倒くさかったら "管理" から入る
表示上ははてなブログに非ログイン状態のはずですが、メニューに表示されている "管理" をクリックすると躊躇なくブログの管理画面が現れます。
あとはここから記事を書くなり編集するなり、いつものことをやればOK。
若干操作の手数は増えますがブラウザを変えたり逐一設定を変更することに比べたら労力は少ない方かもしれないので、あれこれやるのが面倒くさい場合はこの方法が最適な暫定対処法と言えるかもしれません（^-^;
*1:12月19日に10.15.3 Beta 1をインストールして以降ログイン状態の表示が平時のものに戻りましたがmacOSのアップデートで解決したのかはてな側で対策を取ったのかは不明のため経過観察
