macOS上のメニューバーに表示されているアイコンがグレー表示、かつ同期中を示すアニメーションも発生しない不具合が起きているようです。
macOS 12.4以降の一部で？
私の環境でもこの不具合は発生しており、タイミング的には数日前にmacOS 12.5をインストールした頃からだったと思いますが、Dropboxのフォーラムを覗いたところmacOS 12.4の環境でも発生例がある模様。
不具合はアイコン表示のみ、動作は正常
下に示した通り、メニューバーアイコンは "オフライン" であることを示すグレーの表示になっていますが、実際のところはオンライン接続されておりファイルのアップロード、ダウンロードといった同期は正常に行われています。
オフラインのアイコンでしか表示されないので、オンライン時に表示される "同期中" を示すアニメーションも発生しません（が、正常に同期はされます）
今のところ静観するしかなさそう
Dropbox.appの再起動、Macの再起動など思いつく一般的な対処法は試してみましたが状況に変化は見られませんでした。
いずれDropbox側で対処してもらえるだろうと期待はしていますが、前述のフォーラムに投稿されたのが2週間前で、いまだにアップデータがリリースされていない（時間が掛かっている）のは少々気掛かりですね😅
ただ、こちら側としてはやれることは特にないので黙って成り行きを見守るしかなさそうです。